Одна операция, чтобы править всеми: что может — и чего не может — формула из одной строки

В цифровой схемотехнике есть культовая операция NAND. Если у вас есть только она, можно построить любой логический вентиль — AND, OR, NOT, XOR — и в итоге получить любой процессор. Теперь польский физик-теоретик Анджей Одзиевич предлагает похожий универсальный кирпичик для непрерывной математики. Формула выглядит обманчиво просто: eml(x, y) = eˣ – ln(y). Вместе с константой 1 она, по его словам, способна породить любую элементарную функцию: экспоненту, синус, косинус, мнимую единицу, даже число π — и всё это через вложенные подстановки.

Пример из статьи: чтобы получить экспоненту, достаточно написать eml(x, 1). Чтобы выразить натуральный логарифм, потребуется три вложенных вызова: ln(x) = eml(eml(eml(1, x), 1), 1). На первый взгляд, это похоже на гимнастику ради гимнастики. Но за кажущейся игрой прячется любопытная мысль: а что, если инструмент, который строит все функции из одной операции, изменит самую больную точку современной символьной регрессии — искусство восстанавливать явные формулы по данным?

Почему символьная регрессия — это боль

Сейчас, чтобы найти уравнение, объясняющее экспериментальные данные, исследователи перебирают сотни тысяч комбинаций операций: сложение, умножение, синусы, логарифмы, экспоненты. Это как искать иголку в стоге сена, где каждая соломинка — случайная формула со скобками и знаками. Процесс дискретный, плохо оптимизируемый, медленный. Даже продвинутые методы вроде генетического программирования тратят часы на поиск тривиальных зависимостей.

Идея Одзиевича меняет правила игры: если все функции можно выразить через одну операцию, то пространство формул становится однородным — как здание из одинаковых кирпичей. Это открывает дорогу для градиентной оптимизации: нейросети смогут обучаться не перебором, а через спуск по параметрам деревьев из eml-узлов. В статье показано, что в простых случаях система действительно "схлопывается" в точную формулу — например, восстанавливает sin(x) или π по нескольким точкам. Если это масштабируется, мы получим инструмент, который не просто предсказывает данные, а выводит из них интерпретируемые законы.

Где ломается красота

Первый камень преткновения — численные неурядицы. Операция eml не любит ноль и точки, где логарифм обращается в ноль. В таких местах она либо взрывается в NaN, либо требует перехода в комплексные числа. Автор честно отмечает: восстановление функций вроде sin(x) может "взорваться" уже при x = 0.0001. Даже с комплексной арифметикой время вычисления вырастает с микросекунд до сотен миллисекунд — против 0.1 микросекунды у стандартной функции sin.

Второй камень — вычислительная стоимость. Глубокая вложенность eml быстро превращает простую экспоненту в дерево из десятков узлов. Для сложных функций выражения становятся настолько громоздкими, что теряют всякий практический смысл. Автор сам называет это "нерешаемой проблемой" в рамках текущего подхода: строгого математического доказательства полноты операции eml нет, есть только численная верификация и примеры.

Что это меняет сегодня — и что не изменит никогда

Пока статья висит на arXiv без рецензирования, реальная польза eml ограничена небольшими экспериментами. Можно собрать интерактивный "калькулятор с двумя кнопками" — одной для eml, другой для константы 1 — и показать студентам, как из этого вырастает весь набор элементарных функций. Или использовать eml как примитив для символьной регрессии в задачах, где точность не критична, а интерпретируемость важнее скорости.

Но заменить стандартные библиотеки eml не сможет никогда. В задачах, где важна скорость и устойчивость — моделирование физических процессов, обработка сигналов, финансовый анализ — вложенные вызовы eml проиграют по всем статьям. Это не просто "сырая" идея, а принципиально другой подход: вместо оптимизированных функций мы получаем вычислительно тяжёлые деревья, которые ещё и норовят сломаться на краях домена.

Если через несколько лет кто-то найдёт более стабильную и простую операцию с похожими свойствами или адаптирует eml для узких классов задач, символьная регрессия действительно изменится. Модели смогут не только предсказывать данные, но и выводить из них компактные уравнения — как это делают учёные вручную, но в разы быстрее.

Пока же eml остаётся красивой гипотезой с тремя оговорками: она недоказана формально, численно хрупка и слишком дорога для серьёзных применений. Её сила — в идее, а не в реализации. И если будущее символьной регрессии будет за однородными операциями, то eml займёт в нём место первого прототипа — пусть и не самого надёжного.